사과와 오렌지를 섞지말자. 방정식에서 '덧셈'의 모든 항은 동일한 차원으로 본다. 이렇게 차원에 관한 전제는 방정식을 풀 때 매우 유용한 조건이다. 차원해석은 복잡한(초월함수를 포함하는) 적분에 대해 실제로 적분을 하지 않고도 답을 예측 할 수 있다. 바른 예측은 복잡한 문제를 풀어갈 실마리가 된다. '쑥맥이 상팔자'라는 말도 있긴 하다만 길바닥에 나가 셈 정도는 바르게 하려면 콩과 보리 정도는 구분할 줄 알아야 할 것 아닌가.
[문제 1.11] 차원해석 적분
차원해석법으로 다음과 같은 적분을 풀어라.
문제 (a) --------------------------------------------
[풀이]
3단계 차원해석 과정을 복습해 보자. 먼저, 피적분 함수와 적분 형태의 결과를 예상해보자. 차원이 없는 지수함수의 지수부에 두개의 기호를 포함한다. 하나는 x로 정적분 과정에서 사라질 것이며 결과는 α의 관계식 f(α)가 된다. 수학적 직관 위에서 이러한 예상이 가능 하다. 수학적 직관을 가질 때 문제 풀이를 위한 바른 접근 방법을 택할 수 있다.
차원해석 3단계를 따라가 보자.
단계 1. α 의 차원 구하기.
지수함수는 차원이 없다. 따라서 지수부의 기호중 하나인 α 의 차원을 구할 수 있다.
단계 2. 적분 연산의 차원 구하기.
적분 범위가 정해진 정적분은 차원이 없다. 이 정적분은 값의 누적이다.
단계 3. 적분 결과의 차원 구하기.
결국 f(α)의 차원은 [dx]와 같다. 차원을 따지면 미소값 dx 나 x 의 차원은 같다.
지수함수의 정적분 값을 알고 있으므로,
위의 적분 결과는 다음과 같다.
문제 (b) --------------------------------------------
단, 다음의 적분공식을 활용하라.
[풀이]
적분식의 차원을 분석해보자. 피적분 함수의 분모는 x의 제곱에 a 의 제곱을 더했다. '사과와 오렌지'를 섞어담지 않는다(더하기는 같은 차원 끼리). 따라서 x 와 a 의 차원은 같다. 그 차원을 길이 L 라고 두자.
만일, 분모가 아래와 같다면 a 의 차원은 [x]의 1/2차원이다.
적분기호는 차원이 없다. 피적분 함수와 dx의 차원을 정리하면 다음과 같다.
차원해석법으로 적분 결과에 a 의 지수부 n=-1을 구했다. 제공된 적분공식을 활용하여 직접 적분을 풀어보자. 치환법으로 간단하게 풀 수 있다. 아크탄젠트(arc-tan) 값은 차원이 없는 각도다.
[1/(x^2+1)의 적분] --------------------------------------------
위의 문제에서 제공된 다항식의 적분이 삼각함수가 되다니 적분공식이 궁금하다. 그래서 유도해보자. 피적분 함수에 다항식 x^2+1 이 포함되면 삼각함수로 치환하는데 막 이래도 되는 것인가? 좌표변환으로 해석하면 막 그래도 된다. 직교좌표계에서 y=x^2+1상의 모든 점 P(x,y)은 극좌표계 표현 법 P(r, θ)로 등가표현 할 수 있다.
두 좌표계사이의 변환 방법이 있으며,
직각 좌표계의 피타고라스 정리에 적용하면,
매우 유용한 결과를 얻는다.
그리고 삼각함수의 원리에 따라 이렇게 표현할 수 있다.
변환식의 존재에 따라 직교좌표계는 극좌표계와 호환 한다. 극좌표계의 x를 다음과 같이 치환하자.
이에 따라,
치환식 양변을 미분하면,
분수함수다. 이참에 분수함수의 미분도 알아보자.
이제 탄젠트 함수를 미분해보자.
드디어 적분 할 수 있다. 다항식이 포함된 적분에 삼각함수가 등장한 이유를 알았다. 좌표변환이다.
[(x^2+1)의 적분] --------------------------------------------
변환이 좋다고 과하면 안하느니 만 못하다. 1/(x^2+1)의 적분은 분수함수라 치환으로 푸는 방법을 택했었다. 다항식 (x^2+1)의 적분을 위해 위에서 했던 것처럼 굳이 치환을 해보면,
세컨트 네제곱의 적분 꼴이 되었다. 대략 난감하다. 앞서 분수함수 1/(x^2+1)의 적분을 위해 치환했던 이유는 수식을 간단히 할 수 있었기 때문이다. 하지만 다항식을 치환으로 풀려고 했더니 오히려 차수가 높아진다. 굳이 세컨트 네제곱의 적분을 풀어보겠다면 못할 것도 아니지만 대수 계산기(CAS)를 활용하자. 인간은 도구의 동물이니까.
[sec(x)^4의 적분] --------------------------------------------
대수계산기가 없다면 sec(x)^4의 적분을 풀어볼 수 도 있다. 이번에는 tan(x)=u 로 치환해본다.
이대로도 훌륭하지만 기왕이면 중복되어있는 tan(x) 떼내어 정리해 보자. 그리고 삼각함수중 탄젠트 tan()는 분수 꼴이고 게다가 그 값이 무한대로 가버릴 수 있는 아주 불편한 함수다. 다루기 쉽고 연속 함수인 사인 sin() 과 코사인 cos() 함수로 놓도록 하자.
계산기가 알려줬던 대로다.
치환은 꼬이고 꼬인 문제를 반듯하게 펴주는 비법이다. 그대신 이 비법을 사용하려면 수식이 단순해질 수 있을 것이라는 통찰이 필요하다. 세컨트 네제곱을 제곱으로 나누고, 탄젠트를 치환하여 미분하면 세컨트 제곱이 된다는 통찰이 있기에 치환으로 풀어볼 요량을 낼 수 있었다. 이런 통찰은 경험(연습)에서 나온다.
[문제 1.12] 스테판-볼츠만(Stefan-Boltzmann) 법칙
흑체복사는 전자기현상으로 복사강도는 빛의 속도 c에 비례한다. 또한 열복사 현상이기도 하며 열역학 에너지 kT에 비례한다. 이때, T는 흑체의 온도이며 k는 볼츠만 상수다. 동시에 양자역학 현상이기도 한데 플랑크(Plank) 상수 ħ에 비례한다. 따라서 흑제복사 강도 I는 c, kT, ħ에 비례한다. 차원해석으로 I ∝T^4 의 관계에 있음을 보이고 비례상수 σ 를 구하라. 무차원 상수를 찾아보라(이 결과들은 5.3.3절에서 다룰 것이다)
[풀이]
흑체복사(Blackbody radiation)은 "열적 전자기파 방출(thermal electromagnetic radiation)"이라 한다. 고열(에너지)로 인해 질량을 가진 전자들이 궤도간 천이(운동)하게 되고 그에 따른 에너지 방출(또는 흡수)하는데 그 특징이 고유 파장을 갖는 전자기파(빛)라는 것이다. 전자기 파의 주파수는 정수배로 끊어져 있다. 주파수의 역수가 파장(길이)인데 길이가 불연속적인 물리 체계가 된다. 바로 양자물리(Quantum Physics)의 시작이다. 자연의 모든 현상이 연속적이어야 하고, 그래야 미적분으로 해석할 수 있다고 풀어 왔는데 이제 와서 띠엄띠엄(quantum)의 세계라니 쉽게 받아들여지지 않는다.
복사강도 I 는 전방향으로 균등하게 방출되는 에너지에 대하여 한 지점에서 측정한 에너지의 세기를 의미한다. 따라서 면적당 통과하는 시간당 에너지이므로,
근본적(고전적)으로 에너지는 '에너지-일 등가법칙'에 따라,
에너지의 차원은,
따라서 복사강도 I 의 차원을 따져보면 다음과 같다.
흑체의 복사강도 I 는 에너지의 원인에 관계되어 있을 것이므로 문제에서 제시된 것 처럼 다음과 같이 표현할 수 있다.
지수 x, y, z 는 흑체에서 방출되는 에너지의 성분비를 보여주는 것이다. 차원 해석법으로 x, y, z 를 찾아보기로 하자.
열 에너지는 온도에 의한 입자(분자, 원자, 전자 등 질량은 가진 물체)들이 벌인 일이다. 열 에너지는 온도 T 에 비례한다. 비례상수는 k(볼츠만 상수)다.
고전역학에서 에너지의 근원을 밝히지 못하고 현상만을 기술한 것이라면 그 이후로 운동의 원인이 무엇인지 밝혀냈다. 고전적인 가속운동 에너지(뉴튼 역학)나 근세의 열역학의 에너지나 현대의 양자 에너지나 다 같은 에너지다. 차원으로 보면 다르지 않다. 그런데 위의 열 에너지 관계식의 양변의 차원을 보자. 뭐가 달라도 한참 다르다.이 차원을 일치시켜주는 역활이 바로 물리상수다. 여기에서 볼츠만 상수는,
양자 에너지는 역시 물리상수 ħ에 방출된 빛의 주파수에 비례한다. 이 주파수는 정수배로 떨어진다. 바로 양자학의 출발이다. 어쨌든 이 양자 에너지도 운동 에너지의 차원과 같다.
양자 에너지의 경우에도 물리상수 ħ가 양변의 차원을 맞춰주고 있다. 물리상수들을 모아놓은 표를 보면 단위들이 아주 현란한 이유가 바로 여기에 있다.
빛의 속도 차원은,
위에서 알아본 열에너지와 빛의 속도 그리고 양자에너지 상수를 흑체복사 강도의 차원에 적용해보자.
양변의 차원을 맞춰보자. 세개의 미지수와 세개의 방정식을 얻었다.
삼원 연립방정식의 풀이는 이럴 때 써먹는 거다. 공부할 때는 연립방정식 풀기가 참 지난 했었는데 실제 적용할 때는 참 간단하다. 이렇게 구한 지수들을 흑체복사강도 비례식에 대입하여 흑체복사 에너지 법칙을 유도했다. 흑체에서 복사되는 에너지는 온도의 네 제곱에 비례한다. 슈테판-볼츠만 흑체복사 법칙이다.
슈테판-볼츠만 상수 σ의 값은 다음과 같다.
[문제 1.13] 아크 사인 적분
차원해석으로 다음의 적분을 구하라.
적분을 풀 때 아래와 같은 적분공식을 활용하라.
[풀이]
차원으로 풀어보기 위해 피적분 식을 다음과 같이 정리한다. 적분식에서 적분결과의 차원을 수월하게 결정할 수 있다.
적분 변수 x는 적분 과정에서 사라지고 적분 결과는 a에 따라 달라질 것이므로 함수 f(a)로 놓자. 사라진 적분변수 x는 f(a)에 차원을 남긴다.
피적분 식을 위와 같이 정리를 해 놓으므로서 적분결과에 남는 a 를 적분변수 x와 동일한 차원에서 다루기 수월하기 때문이다.
결국 a 의 차원도 쉽게 결정 할 수 있다.
적분결과인 f(a)가 가지게될 차원을 따져보자. 다음과 같다.
앞서 a 의 차원을 알고 있었다. 적분 결과와 차원이 일치하려면 n=2이어야 한다.
이제 원래대로 되돌려 보자.
주어진 적분 공식을 활용하여 적분 문제를 풀어보자. 치환법으로 쉽게 풀 수 있다. 괄호안은 x에 관한 수식이며 계수는 차원해석으로 구한 값과 같다.
[적분공식 유도] --------------------------------------------
다음과 같은 적분공식을 유도해보자.
풀어야할 식이 분수 꼴 이거나 제곱근이 포함되었다면 이를 없앨 방법을 먼저 강구해야 한다. 분수식은 무한대로 가버릴 수 있고 제곱근은 음수가 되어선 않되기 때문이다. 그만큼 푸는 과정이 복잡해 진다. 위의 피적분 식에 제곱근이 보인다. 제곱근 내의 식을 인수분해를 하든 삼각함수의 제곱공식을 적용하든 제곱으로 만들어 제곱근을 풀도록 하자. 위 문제의 경우 제곱근 안의 식이 1과 변수의 제곱의 덧셈(또는 뺄셈)이 포함되었다. 삼각함수 제곱공식을 떠올려 보면 제곱근을 풀어버릴 수 있다.
위와 같은 치환은 좌표계 변환으로 정당화 된다. 그런데 x=cos(u) 라고 놓으면 양변의 차원이 맞는 것인가? 만일 [x]=L로 놓으면 [cos(u)]=L이 되어야 한다. 차원없는 각도 u와 그 코사인 값이 길이의 차원을 가질 수 있을까?
수식을 단순화하기 위해 극좌표의 길이 r=1로 놓았다. 그리고 치환한 x=cos(u)를 직접 사용하지 않으며 제곱식을 풀기 위한 중간 단계의 도구로 활용한 것이다. 직각 삼각형의 빗변 길이를 구하는 공식에서 삼각함수 제곱 공식이 유도되었다. 이때 빗변의 길이 r^2 이 약분되었다고 차원까지 사라진 것이 아니다. 최종적으로 치환 했던 x의 관계식으로 복원할 것이다.
제곱근에서 빠져나오긴 했지만 코사인 제곱의 적분은 여전히 난제다. 지수함수는 미분하거나 적분해도 변함없는 특징이 있었다. 삼각 함수도 미분과 적분을 거듭하면 변함이 없다. 단지 모양을 한단계 건너 뛴다는 점이 지수함수와 약간 다르다.
미분을 하거나 적분을 해도 복잡도에 변화가 없을 때 부분적분법을 생각해 내야한다. 부분적분법은 원래 곱의 미분법에서 나왔다.
이 부분적분법이 왜 삼각함수가 포함된 적분에 유용한지 보자. 미분(적분)을 하다보면 신통하게도 자기 자신이 도로 나온다는 점이다.
양변을 정리 해보자.
이제 x=sin(u)로 치환 했던 것을 복원한다.
[문제 1.14] 비례 문제
물이 시간당 부피 dV/dt = 10 m^3 s^(-1)로 위로 개방된 윈뿔 통으로 떨어지고 있다. 물의 깊이가 h=5m 가 되었을 때 깊이가 증가하는 비율을 구하라. 그리고 미적분으로 정확한 값을 함께 계산하고 비교해보라.
문제를 풀기 전에 주어진 것과 구해야 할 것을 파악해보자. 원뿔에 붇는 시간당 물의 양(dV/dt)과 원뿔의 높이(h)가 주고 높이가 증가하는 율을 구하는 것이다. 증가율을 R 이라고 두자. 그리고 '증가율'의 개념은 시간당 높이 이므로 차원을 따져보면 다음과 같다.
차원을 맞춰보자.
길이의 차원으로 주어진 것은 높이 뿐이다. 따라서 높이 증가율은,
뒤집힌 원뿔의 부피 증가량은 높이에 반비례한다.
[문제 1.15] 케플러 제3법칙
뉴튼의 만유인력 법칙은 잘 알려진 거리의 역제곱 법칙으로 다음과 같다. 만일 G가 뉴튼 상수이고 m1과 m2가 각각 두 물체의 질량이며 r은 두 물체의 간격일 때,
태양을 도는 행성에 대하여 만유인력과 뉴튼의 제2법칙을 합치면 다음과 같다.
행성의 공전 주기 τ 와 반지름 r의 관계를 구하시오. 케플러의 제3법칙과 비교해보라.
만유인력의 법칙은 질량을 가진 두 물체 사이의 '힘'이다. 만유인력법칙의 '힘'이나 뉴튼 제2법칙의(질량을 가진 물체가 점진적으로 속도를 올릴 때-등가속- 필요한) '힘'이나 다 같은 '힘'이다. 그런데 두 힘을 기술한 수식의 모양이 전혀 달라 보인다. 다행히 만유인력 법칙에 G 라는 만유인력 상수가 붙었다. 이 물리상수가 양변의 상이한 두힘의 차원을 맞춰주는 역활을 한다. 만유인력 상수의 차원을 구해보자.
두 힘의 차원을 같게 놓으면,
중력상수의 차원은 다음과 같다.
중력상수의 실제값은,
만유인력 상수가 서로 다르게 발현된 힘 사이를 묶어주는 역활을 한다. 자연계에는 서로 상이한 힘들이 있다(기본 상호작용, fundamental interaction이라 한다). 이 힘들을 한데 아우르는 신의 상수가 있을 텐데 그게 뭘까? 두 힘 사이를 묶어주는 방법으로 물리 상수를 동원한다지만 4가지 힘을 한데 묶으려면 비례식으로는 어림 없다. 획기적인 뭔가가 필요하다. '장 이론(field theory)'이라고 하던가? [통일장 이론(Unified field theory)]
[케플러 제3법칙]
케플러 제3법칙은 태양을 중심으로 공전하는 행성의 주기(τ)와 반지름(r)의 관계를 나타낸 것으로 다음과 같다.
태양을 중심으로 공전하는 행성은 등가속 운동 법칙과 만유인력의 법칙이 작용된다. 공전하는 물체(행성)는 지속적으로 방향을 바꾸므로(벡터) 등가속 운동 한다. 동시에 운동하는 물체(행성)가 중심의 무거운 물체(태양)에 의해 끌어당기는 힘이 작용한다. 두가지 힘이 균형을 이룰 때 행성이 태양으로 끌어 당겨지거나 밖으로 튕겨나가지 않고 공전한다.
두 힘을 같게 놓자.
그리고 차원을 따져보자.
이제 시간(주기)과 길이(반지름)의 관계를 구해보면,
케플러 제3법칙의 차원과 같다.
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