1.3 다시 생각해 보는 적분

[마구잡이 수학] 1.3 다시 생각해 보는 적분

앞서 1.2절에서 차원해석(dimension analysis)을 통해 사건(현상)을 이해할 수 있다는 것을 배웠다. 차원의 표현은 추상적이기 때문에 이해를 위해 해석이 필요하다. 위치를 특정 할 때 "3차원 공간에서..."라고 전제한다. 이 표현에 담긴 의미는 3개의 서로다른 방향으로 직교하는 좌표축을 상정한 것으로 각 축을 같은 거리(위치)의 차원으로 취급하였다. 여기에 단위의 뜻은 전혀 없다. 심지어 "4차원 공간에서..." 라고 말했다면 더욱 복잡해진다. 공간(길이)과 시간이라는 전혀 다른 성격의 개별 차원을 한데 묶어 놓고 있다. 자유낙하(free-fall)를 공부하면서 단위(unit)를 명시하지 않고 차원(dimension)만으로 값을 나타내는 것도 바르지 않다는 것도 알았다. 예를 들어 보자.

"벗꽃잎이 떨어지는 속도 '초속 5 센티미터'"

숫자 5는 '단위'가 '센티미터'인 '값' 이다. '초속 센티미터'는 '속도'의 차원인 '시간분의 거리'를 단위와 함께 표현한 것이다. 단위가 배제된 값은 어떤 의미를 갖게 될까. 그저 '5'라는 값과 '5 센티미터'라는 길이 그리고 차원만을 표시한 '속도 5'와 값에 차원과 그 단위를 명시한 '초속 5센티미터'가 갖는 의미는 다르다.

차원을 갖지 않는 값의 의미를 살펴보기 위해 다음과 같이 값 5와 변수 x 가 포함된 가우스 적분(Gaussian integral)을 보자.

'만국 공용어'로서 수학은 굳이 차원을 표시하지 않는다. 위의 적분식에서도 x가 길이인지 혹은 시간인지 특정하지 않으며, 다양한 물리현상을 기술 하는데 적용된다. 예를 들어 가우스 적분을 확률이론(probability theory)에 적용하면 다음과 같다.

이 적분은 가우스 분포(혹은 정규분포, normal distribution)를 취하는 어떤 사건이 [x1, x2]의 범위에 있을 확률이다. 피적분 함수은 가우스 함수에 값 5 대신 (1/2σ)로 바꿨었을 뿐이다. 종모양의 날씬함이 차이난다.

적분 변수 x 는 길이, 속도 따위의 물리량 또는 실험오차 값 같은 개념 등 어디든 통계적 분포의 표준화(모형)과 그 확률값(적분)을 구하는데 적용된다. 이 적분이 열역학에 적용 된다면,

이때 적분 변수 v는 온도 T에서 질량이 m 인 분자들이 갖는 속도의 의미를 부여한 것이다. 일정한 공간 내에 수많은 공기 분자들이 존재한다. 이 공간의 온도가 T라면, 분자들의 움직임이 빨라지며 그 결과로 압력이 생긴다. 즉 분자들이 열에너지 T 를 분자들의 운동에너지로 변환된다는 뜻이다. 공간내의 수많은 분자들이 모두 동시에 똑같은 속도를 갖진 않을 것이다. 이 분자들이 갖는 속도의 분포를 통계적으로 나타내보면 가우스 분포를 따른다고 한다. 마치 종모양의 가우스 분포는 통계적으로 모형화 할 때 사용하는 만능 공식이다.

하지만, 공용 언어로서 수학식 ∫exp(-αx^2)dx 에서는 변수 x 나 계수 α 에 대한 아무런 차원의 의미를 부여하지 않았었다. 수학에서 이러한 '구체성의 부족'은 강력한 추상화의 도구가 될 수 있음을 보여주긴 하나 차원 해석의 어려움을 낳는다. ('구체화' 대 '추상화')

(질문) 수학적 추상화의 장점을 잃지 않으면서 차원 해석이 가능하게 만들 방법은 무엇인가?

위의 질문에 답하려면 수학적으로(차원은 감안하지 않고) 값을 계산한 후, 합당한 차원을 부여하는 것이다. 그 방법을 찾기 위해 가우스 적분을 다음과 같이 일반화 해보자.

처음의 적분식에서 지수부에 적분변수 x의 계수가 5로 확정되어 있던 것과 다르게 이 일반화된 식은 α로 기호화(symbolize)되었다. 기호는  π, e 같은 무리수 상수의 다른 이름, 또는 k, G 같은 물리상수 일 수 있지만 변수인 경우에 주목하자. 그리고 수학식의 x와 α는 차원이 부여되지 않았다. 이렇게 아무런 차원의 의미를 부여하지 않은 개방성(openness)으로 인해 차원해석(dimension analysis)의 방법이 자유롭다. 앞선 추상성의 장점과 연계하여 생각해보자. 어떤 방정식이든 차원의 일치가 담보되어야 한다. 다음과 같은 방정식을 만들었다면 좌변과 우변의 차원이 같아야 한다.


(질문) 위의 방정식에서 우변은 x 의 함수일까? 혹은 α 의 함수일까? 적분 상수(이 또한 '미지수'다)가 포함될 것인가?

위의 적분 방정식에서 좌변에서 볼 수 있는 기호는 x 와 α 뿐이다. 그중 x는 적분 변수로서  정의한 구간에서 누적연산을 하고 나면 사라진다. 그리고 구간이 제시된 정적분이므로 미지 상수를 남기지 않는다. 따라서 'something' 이라고 표시된 우변에 남는 기호는 오직 α뿐으로 다음과 같이 표현된다.

우변의 적분결과로 얻은 함수 f 의 유일한 입력은 α다. 이 함수에 차원을 갖지 않는 2/3 이라던가 π 따위의 숫자가 포함 될 수는 있지만 차원을 가질 수 있는 것은 오직 α뿐이다. 방정식에서 좌우변의 차원이 일치해야 하므로 적분의 결과인 함수 f(α)는 결국 α의 차원에 의해 결정된다. 이런 사실을 근거로 차원해석은 다음과 같이 3개 과정을 따른다.

단계1. α의 차원을 부여하기 (1.3.1 절에서 다룸)
단계2. 적분(식)의 차원을 구함 (1.3.2절에서 다룸)
단계3. 함수 f(α)의 차원을 정함 (1.3.3절에서 다룸)

1.3.1 α 에 차원을 부여하기

차원해석 방법의 설명을 위해 지수함수의 적분, 특히 가우스 함수를 예를 들어 보기로 한다. 지수함수의 지수부에 있는 인수 α 는 밑을 곱할 횟수를 나타낸다. 예를 들어 2의 n제곱을 보자. 숫자 2를 n 번 곱한다.

'곱한 횟수'란 순전히 숫자로서 차원을 가지지 못한다. 따라서 지수부의 기호 n은 차원이 없어야 한다.

가우스 함수의 경우 무리수 e의 거듭제곱 이다. 따라서 지수부 (-αx^2) 역시 차원이 없어야 한다.

편의상 α의 차원을 [α]라 하고 x 의 차원을 [x] 라 표기하자. 그렇다면 숫자의 지수부 또한 차원이 없으므로 다음과 같다.

숫자 1은 차원이 없음을 나타낸다. 결국 α의 차원은 x의 차원에 제곱한 역수다.

이와 같이 α의 차원을 찾아내 부여하는 방법이 '공용의 언어'인 수학으로 물리현상의 기술에 활용할 때 쓸모있어 보인다. 하지만 차원을 특정하지 않은 채 계속 하려면 매번 차원을을 찾아 내거나 병기해 주어야 한다. 병기한 것을 그대로 받아쓰다 보면 그 원인이 묻혀 버릴 우려가 있으니 주의하자.

가장 간단한 방법의 하나는 x를 차원이 없게 만드는 것이다. 그리하여 α와 f(α)도 차원이 없게 되면 차원해석을 다시 할 필요가 없게 만들었으므로 어떤 f(α)에 대해서도 차원을 일치시킬 수 있을 것이다. 차원을 아예 고려하지 않는 것이 속편하긴 하겠지만 자연 현상을 다룰 때 유용하지 않다는 것을 알고 있다. 그리하여 앞으로의 전개를 위해 x에 가장 단순 하면서 기초적인 차원을 부여해 두기로 하자. 이제부터 x 의 차원은 '길이(L)'라고 해둔다. 결국 [α] = L^(-2) 다.

1.3.2 적분의 차원

적분변수의 차원을 길이 [x]=L 라 놓고 α의 차원 [α]=L^(-2)로 하면 가우스 적분의 차원을 결정할 수 있다. 다시 적분식을 보자.

적분의 차원 결정에 영향을 주는 요소는 세가지로 볼 수 있다. 먼저 적분기호 ∫ 와 피적분 함수 e^(-αx^2) 그리고 적분 변수 x의 미분 dx 다. 적분기호는 원래 누적계산(Summe)에서 기인한 것이다. 합산 결과의 차원은 누적 변수가 갖고 있던 차원과 같다. 예를들어 [길이]를 여러번 더한 값의 차원은 [길이]다. 따라서 적분기호는 단지 덧셈 연산일 뿐이며 그 결과가 차원에 변화를 잃으키지 않는다. 적분기호는 차원이 없다.

[문제 1.6] 속도 적분
속도를 적분 하면 이동거리가된다. 하지만 속도와 거리는 차원은 다르다. 속도의 적분이 이동거리의 차원과 일치 시킬 수 있음을 보여라. 이는 적분기호는 차원이 없다는 결론을 얻을 수 있다. (사실 적분기호는 연산자다.)

적분기호(사실 누적 연산자다)는 차원을 갖지 않기 때문에 적분결과의 차원은 피적분 함수 exp(-αx^2) 와 적분변수의 미분 dx의 곱에 의해 결정될 것이다. 지수부 (-αx^2) 가 지수함수에 큰 영향을 주긴 해도 결국 밑인 e를 곱할 횟수일 뿐이다. 게다가 밑인 e가 차원이 없는 무리수 이므로 이를 여러번 거듭제곱 한다고 차원이 생기지 않는다. 결국 피적분 함수도 차원이 없다.


(질문) 미분 dx도 차원을 가질까?

미분에서 d의 의미는 말그대로 '아주 작은 조각'이다. 따라서 dx는 'x의 아주 작은 조각'이다. 앞서 편의상 x를 '길이'로 보기로 했으므로 dx는 '아주 짧은 길이'다. 매우 작다는 단서가 있긴 하지만 '길이'다. '일반적으로' 미분 dx는 x와 같은 차원을 갖는다. 그리고 d는 적분 연산자 ∫ 의 역으로 역시 차원을 갖지 않는다. 이제, 가우스 적분식의 차원을 분석해 보자.


[문제 1.7] 여기서 잠깐, 적분은 면적을 계산하는 것이 아니었던가?
우리가 알고 있던 상식으로는 적분은 면적을 계산하는 것으로 알고 있었다. 면적의 차원은 길이의 제곱 [L^2] 인데 가우스 적분의 차원은 L 인가?

적분을 '면적'으로 이해 했던 이유는 피적분 함수 f(x)가 적분 변수 x와 같은 '길이'의 차원인 경우를 다뤘기 때문이다. 적분된 F(x) 또한 x의 함수로서 길이의 제곱으로 면적의 차원과 같다.

가우스 적분에서 피적분 함수는 밑이 무리수인 지수함수다. 이 지수함수는 차원이 없다. 이 경우 적분은 길이 x에 대한 지수함수의 누적값의 의미를 갖는다. 그림으로 '면적' 처럼 보이지만 이 '영역'의 차원을 따져보면 길이의 제곱이 아니다.


1.3.3 함수 f(α)에 차원을 찾아 주기

차원해석의 세번째 이자 마지막 단계는 함수 f(α)에 적분과 일치하는 차원을 찾아주는 것이다. 세번째 단계를 진행하기 전에 문제를 기억해보자. 무엇하려 여기까지 왔을까?

물리적 현상(각종 운동)을 기술할 때 미적분이라는 수학이 매우 유용하다는 것을 알고 있다. 수학 방정식에 단위와 차원을 동반하면 매우 구체적인 물리현상(각종 운동)을 기술 할 수 있다. 하지만 수학의 방정식은 매우 일반화된 표현이다. 추상적인 적분 방정식에 차원의 개념을 적용하여 그 해석으로 적분을 정성적(qualitative)으로 풀어보려고 한다. 예를 들면 물리학, 통계학에 널리 활용되는 가우스 적분(Gaussian integration)이 있다.

좌변은 두개의 기호 x 와 α 그리고 적분기호가 포함된 정적분 식이다. 적분변수 x 에 기초적인 차원을 부여해 보자. 편의상 길이(L)의 차원을 갖는다고 하자. 정적분 과정에서 적분변수 x는 사라지고 그 결과는 f(α)로 α의 함수가 된다. 하지만 사라진 x 의 차원이 적분 결과 f(α)에 상속된다. 방정식의 좌변과 우변의 차원은 꼭 일치해야 한다는 사실을 다시 상기하자. 지수함수의 특징 상 피적분 함수에 차원이 없다는 것으로부터 계수 α에 L^(-2)의 차원을 부여할 수 있었다(Step 1). 우변의 f(α)의 차원은 좌변의 정적분의 차원을 분석하여 이미 알고 있다. 방정식 좌우변의 차원이 동일해야 하므로 함수 f(α)의 차원은 L 이다(Step 2). 끝으로 α의 차원이 L^(-2)이므로 이를 길이의 차원과 맞추려면 제곱근 해야한다(Step 3).

가우스 적분은 실제로 적분을 하지 않고 순전히 차원 해석만으로 얻었기 때문에 이 결과에 차원이 없는 상수가 빠졌다.

차원이 없는 상수를 결정하기 위해 α=1을 대입해보자.

가우스 함수의 이상적분 값은 매우 잘 알려져 있다. 근사적으로 값을 구하는 방법에 대해 앞으로 2.1절에서 살펴볼 것이다.

앞서 차원해석과 가우스 이상적분을 합쳐 최종적으로  f(α)의 정확한 결과는 다음과 같다.

수학계산의 정확도를 구하는 것은 당연하다. 차원이 없는 상수값 π에 메달리는 경우를 본다. 사실 이런 비례상수 보다 α 의 역활이 더욱 중요하다. 방정식에서 역활을 하는 요인에 대한 해석에 더 집중한다. 실제로 수학 문제풀이에서 이렇게 정확한 값을 찾는데 집중하는데 비해 물리학의 대부분 법칙에서 방정식에 수많은 비례상수가 동원되고 있지만 그 값을 외우는 경우는 드믈다. 하지만 단위(차원)에 유의한다.

[각종 물리상수들]


[문제 1.8] 변수의 변경 (치환)
앞서 구한 f(α)를 모른다고 치자. 차원해석 방법 말고 f(α)~α^(-1/2)가 됨을 보여라.

문제 풀이 기법 중 무엇보다도 널리 사용되는 방법으로 '치환'이다. 복합적으로 보이는 변수를 단순하게 만들어 놓자.

위와 같은 치환은 이미 가우스 적분을 알고 있었기 때문이다. 단, 변수 x에 계수 α가 곱해져 있으므로 이를 단순하게 치환 하였다. 치환은 함수의 경우 정의역이 달라질 수 있다. 따라서 치환 전후의 의미상 등가성을 유지해야한다.

치환전의 α와 x가 모든 실수였다면 치환 후의 u도 모든 실수를 만족해야 한다. 실수의 곱은 역시 실수 이므로 위의 치환은 타당하다. 적분변수 x 의 미분 dx 역시 치환되어야 한다. 이를 위해 양변을 제곱근 한다. 실수의 제곱근 역시 실수 이므로 이 관계는 성립한다.

미분을 구해보자. 적분변수 x와 치환된 변수 u의 미분관계다.

처음의 적분식에 치환된 변수와 그 미분을 대입해보자. 우리는 가우스 적분 값을 미리 알고 있었다.

치환법이 차원해석보다 훨씬 단순해 보인다. 치환 전후의 적분변수(함수의 정의역)의 조건이 일치하는지 꼭 맞춰봐야 한다. 흔히 치환법을 적용하면서 이를 당연하다는 듯이 지나치곤 한다. 하지만 큰 실수를 낳을 수 있으니 간과하지 말자.

[문제 1.9] 다루기 쉬운 α=1 로 놓기
비례 상수를 찾아내기 위한 방법으로 α=1로 놓고 따져보는 것이었다(2.1절에 다룰 것임). 하지만 x 가 길이이고 α 가 L^(-2)의 차원을 갖는다는 조건에 부합하지 않다(차원이 서로다른 관계식). 그럼에도 앞서 α=1로 놓기를 허용할 수 있었던 이유는 무엇인가?

사실 x를 길이의 차원으로 놓았던 것은 차원 해석의 방법으로 접근하기 위한 방편이었다. 수학적으로 보면 x 나 α 는 같은 수식의 변수다.

[문제 1.10] 좀더 어려운 지수함수 적분
차원해석 방법으로 다음의 지수함수 적분을 해보라.


풀이,



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