어른의 수학, -----------------------------------------------------------------------
사람이 나이를 먹으면 기억력은 떨어지지만 이해력은 오른다는 이야기를 들었습니다. 누구에게나 적용되지는 않겠지만 일면 수긍이 가는 면도 있습니다. 아마도 살아오면서 산전 수전 격으며 몸으로 익히고 익숙해진 탓 이겠지요. 하다 못해 연봉 계산도 많이 해봤을 테고, 우리 근대사에서 사사오입 개헌 이야길 들으며 헛 웃음을 지어 봤겠구요. 이는 곱셉, 나눗셈계산을 잘하지 못해도 이해가 높아졌다는 뜻일 지도 모른다는 겁니다. 좋든 나쁘든 셈법을 활용 할 줄 안다는 뜻일 테니까요. 인터넷에서 이런 사진을 봤습니다. 묘하게 설득되려는 <신박한 할인율>.
10만원짜리를 30퍼센트 할인 했으니 7만원 맞습니다. 8만원짜리를 50 퍼센트 할인해 줬으니 4만원 맞습니다. 합쳐서, 7만원 더하기 4만원은 11만원 이구요, 30 퍼센트 더하기 50퍼센트면 총 할인율은 80 퍼센트 되겠습니다. 근데 18만원 짜리를 80퍼센트 할인 하면 11만원 아닌데요? 덧셈과 곱셈인데 뭔가 이상하죠. 덧셈과 곱셈이 가미된 분배법칙의 오류군요. 저 광고판의 주장 대로라면 이렇습니다.
할인의 개념과 분배법칙이 틀렸죠. 총액에서 80퍼센트 할인 했으니 20퍼센트만 받겠다는 것인데, 18만원의 20퍼센트가 11만원 인가요?
덧셈에 곱을 분배해 주려면 공통 값이어야 합니다.
공통 값을 취해 분할 하는 것을 인수분해라고 합니다. 큰수의 곱을 계산하려면 복잡하기 때문에 작은 수로 잘게 나누어 계산하는 것이 훨씬 편할 때도 있습니다. 이를 분할과 정복(Divide-and-Conquer)이라고 하는데 숫자 계산 뿐만 아니라 컴퓨터 프로그래밍 기법(알고리즘)에서 상당히 널리 사용되는 개념 입니다. 어쨌든 위의 간판이 은근히 설득력이 있지만 이상하다는 것을 알았다는 것은 수리적인 감각이 살아 있다는 겁니다. 다만 그게 뭔지 몰랐을 뿐이죠. 바로 분배법칙입니다.
분배법칙, --------------------------------------------------------------------------
분배 법칙은 한개 이상의 덧셈으로 엮인 덩어리 끼리 곱셈을 해주는 법칙입니다.
만일 덧셈으로 역인 괄호 덩어리가 동일 하다면 제곱이라고 할 수 있죠.
너무 쉽군요. 세개의 (a + b)를 연거퍼 곱해 보죠.
이번에는 네개의 (a + b)를 연거퍼 곱해 보죠.
이번에는 다섯개, 여섯개 그리고 무한히 많이 곱해 보시죠. 쉬운 분배법칙입니다. 불굴의 의지가 필요하지만 못할 것 없습니다.
이항정리, --------------------------------------------------------------------------------
이런 (a+b)의 거듭 제곱을 좀더 편하게 하자고 유명한 수학자(파스칼)가 계산 방식을 만들었습니다. 먼저 거듭 제곱에 대한 간단한 용어를 알아봅시다. 덧셈으로 분리되고 곱셈으로 묶여진 덩어리를 '항(term)'이라고 합니다. (a + b)를 두번 거듭제곱 했을 때 세 종류의 곱셈 덩어리가 나왔죠. a*a, a*b, b*b. (a+b)를 n번 제곱하면, a의 최대 제곱은 n, (a^n), 최소 제곱은 0, (a^0=1) 입니다. 그리고 그 덩어리 앞에 고정된 숫자(상수)가 곱해 지는데 이를 항의 "계수"라고 합니다. a^2의 계수는 1, a*b의 계수는 2, b^2의 계수는 1입니다. (a + b)라고 표현된 식은 항이 두개 입니다. 단독으로 a 만 있지만 사실 a와 b의 곱으로 된 항(a^1*b^0) 입니다. 항이 두개 있다고 해서 (a + b)를 "2항"이라고 합니다. 2개의 항으로 구성된 식을 여러번 거듭 제곱하면 다수의 항이 포함된 식이 됩니다. 소위 "다항식"이죠. (a + b)라는 "2항"의 식을 거듭 제곱하여 "다항식"을 얻는 일반화된 규칙을 만들었는데 이것을 "이항정리"라고 합니다. 파스칼이라는 수학자가 고안해 낸 아주 쉬운 계수 정하는 방법이 있습니다.
규칙을 눈치 챘죠? 수학을 눈치로 하면 않되지죠. 위의 숫자들은 2항식을 거듭 제곱하여 나온 각 항의 계수들을 의미 합니다. "순열과 조합" 이라는 과목에서 "조합"의 계산법으로 나온 겁니다. 예를 들어 (a + b)^4 를 전개해 보면,
위의 식을 "순열과 조합"에서는 이렇게 이야기 합니다. 'a'라고 써있는 공 4개와, 'b'라고 써있는 공 4개를 주머니에 넣고 4개의 공을 꺼냈을 때 나올 수 있는 공의 조합이 수가 '항' 입니다. 항의 예를 들면, 'a' 공이 4개가 선택 될 수도 있고. 'a' 공이 1개, 'b'가 3개가 나올 수도 있습니다. 항의 계수는 꺼낼 수 있는 경우의 수를 뜻합니다. 'a'가 네개 나오는 경우는 한가지지만, 'a' 공이 1개, 'b'가 3개가 나올 경우는 4가지 입니다. 나온 공을 '곱'셈으로 표현 하는데 곱셈은 알다시피 순서가 바뀌어도 되죠. 즉, 곱하는 순서가 의미 없으니,
이항식의 거듭 제곱을 전개 했을 때 나오는 항의 개수가 "이항계수" 입니다. 그리고 항의 계수는 조합식(Combination)으로 계산합니다. "조합"의 계산법은 다음과 같습니다. "경우의 수"를 계산하는 방법 중 하나 입니다. 이유 없는 무덤이 없듯이 수학식은 전부 논리와 산술 법칙에 따라 만들어진 겁니다. 나중에 이런 계산식이 어떻게 나왔는지 배울 때가 있을 겁니다. 어쨌든 nCr, nPr은 +, - 와 같은 수학 기호중 하나 일 뿐입니다. 단지 계산이 조금 복잡합니다. 덧셈 뺄셈보다 추상적이라고 하죠.
느낌표 기호 ! 가 약간 아리송하긴 합니다만 계산은 간단 합니다. 뺄셈과 곱셈 입니다.
5! 은,
느낌표의 의미는 "서로 다른 5가지를 줄세우는 방법의 수" 입니다. 경우의 수를 따지는 것은 확률을 계산하기 위함 입니다. 물론 그외에도 여러가지로 활용됩니다. 예를 들어 로또 추첨 하듯이 1부터 43까지 번호가 써있는 공 6개를 순서대로 꺼내 보겠습니다.
첫째공은 43개 중 하나,
둘째공은 42개 중 하나,
세째공은 41개 중 하나,
네째공은 40개 중 하나,
다섯째공은 39개 중 하나,
여섯째공은 38개 중 하나
따라서 공 6개를 꺼내는 경우의 수는,
그런데 뽑아 놓고 난 후 뽑힌 공의 순서는 의미가 없죠. 어렇게 여섯개가 뽑혔다고 하면, 순서가 바뀌어도 당첨번호는 같은 거니까요.
따라서 순서대로 뽑았을 때 다르게 쳤던 것들을 상쇄해 줍니다. 6개의 공의 순서를 없애는 겁니다. 위의 다항식에서 곱하기 했던 것들을 합쳐서 같은 것으로 보고 계수를 셌던 거랑 같은 이유죠. 순서대로 뽑은 것을 "순열"이라고 합니다. 순서를 무시하고 뽑은걸 "조합"이라고 부릅니다. 43개 공 중에서 순서는 상관 없이 6개를 뽑는 경우의 수는 이렇게 계산 합니다.
숫자 계산 해볼까요? 역시 불굴의 투지를 발휘해야 합니다.
로또 당첨 번호를 맞출 확률은 6백만 분의 일이군요.
다시 "이항정리" -------------------------------------------------------------------------
"이항계수"를 구하는 피라미드 같은 표를 기억해 보죠.
이것을 일반화 시킬 방법이 없을까요. 그림이나 표, 설명, 더구나 느낌이 아닌 임의의 n 차 거듭제곱 다항식을 한 수식으로 표현 하고 싶은 겁니다. "이항 다항식"의 "항"과 "계수"가 만들어지는 규칙을 보니 앞서 살짝 봤던 대로 "조합"의 원리와 같습니다.
드디어 "이항 다항식"을 이렇게 나타낼 수 있게 되었습니다.
미분법에 활용, -----------------------------------------------------------------------------
도데체 "이항 다항식"은 왜 만들었을까요? 요긴하게 쓸 곳이 있었겠지요. 미분법에 활용된 경우를 보겠습니다. "미분"에 대한 원리와 의미는 나중에 <어른의 수학>에서 배우도록 하고 다항식 미분법을 유도하는 과정을 보겠습니다.
x의 n차 항의 미분법은 간단 합니다.
이 미분법이 어떻게 나왔는지 유도해 봅니다. 미분의 정의에서,
미분 기호 (d/dx)는 일단 수학 연산기호라고 해둡시다. 나눗셈 아닙니다. 그냥 그렇게 생긴 기호(연산자) 입니다. 이 기호가 하는 일은 극한 값을 구하겠다는 것이구요. 그리고 delta_x 가 문자로 표기하기 어려워서 h 로 표현하고 있습니다. 이제 함수를 적용해 보지요. 어떤 함수가 아래와 같다고 합시다.
그리고 x에 (x+h)를 주면,
미분의 정의에 적용 합니다.
분모 h가 0에 한없이 접근할 때 그 끝(극한값)은 분모가 0에 접근하고, 분자도 역시 0에 접근하여 부정형이 되버리죠. 수학에서 어떤 함수든 부정형(0/0)이 되는 것을 허용하지 않습니다. 사실 미분을 정의하기 위해 그렇게 만든 것이긴 합니다. 어쨌든 부정형이 되지 않도록 뭔가 대책을 마련해 보겠습니다. 부정이 되는 요인(h가 0으로 접근하는 것)을 수학적 방법을 동원하여 제거해 준 후 극힌 값을 구해 보는 겁니다. 분자의 (x+h)^n을 보니 "이항 다항식"이 떠오르지 않습니까?
nC0 = nCn = 1 입니다. 그리고 h^0 = 1 입니다. 맨 끝의 항, nC0*x^n*h^0는 결국 x^n 입니다. 뭔가 느낌이 오죠? 분자를 정리해 봅시다.
이제 극한값이 부정으로 몰고간 원인이었던 h를 없애주는 겁니다. 간단합니다. 분자의 모든 항에 h의 거듭제곱이 포함되었군요. 분모의 h로 나눠 주고 극한 값을 취해 봅시다. h를 0으로 보내면 분자는 끝의 항만 남고 모두 0에 수렴합니다.
그리고 남은 x^(n-1)항의 계수를 계산해 봅시다.
f(x) = x^n의 미분은 결국 이렇게 됩니다.
멋지지 않습니까! 미분법을 유도할 때까지 필요 했던것은 뭐였죠? 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 분배법칙 그리고 수학 상식과 불굴의 투지입니다.
끝으로...., ---------------------------------------------------------------------
이제 "미분"을 배웠습니다. 미분은 고전역학의 운동을 이해하는 기본적이고도 유일한 도구입니다. 물리로의 응용은 <어른의 수학> 강좌에서 만나보세요. <과학과 사람들>에서 수학을 포기했다고 착각하는 어른들을 위해 <어른의 수학>이라는 강좌를 진행 한답니다. 서두르세요, 11월 25일 개강 이랍니다.
<어른의 수학>
*<어른의 수학> 기본반 교재로 사용하게될 "물리의 정석"에 다항식 미분법이 생략 되었길래 참고삼아 작성한 글입니다.
